Zadaci 3.2.
8.1. Odredi polinom drugog stupnja $f(x)=a x^2 + c$ i nacrtaj njegov graf ako je $f(0)=1$ i $f(2)=1$
Rješenje:
Iz jednadžbe polinoma zaključujemo da se radi o polinomu koji je simetričan s obzirom na ishodište, i ima samo pomak na osi y. Iz podataka koji su nam zadani možemo odrediti dvije točke polinoma, a nepoznanice koje treba odrediti jesu $a$ i $c$. Njih ćemo dobiti tako da dvije točke, koje imamo zadane, uvrstimo u jednadžbu polinoma $f(x)=ax^2+c$.
Kada u tu jednadžbu uvrstimo točku $f(0)=1$ odnosno točku $(0,1)$ i točku $f(2)=1$, odnosno točku $(2,1)$, dobivamo dvije jednadžbe:
$-1=c$, odakle slijedi $c=-1$ i $1=4a-1$, odakle slijedi $a=\frac{1}{2}$
Sada možemo napisati jednadžbu traženog polinoma $f(x)=\frac{1}{2}x^2-1$ te skicirati traženi polinom.
8.1. Odredi polinom drugog stupnja $f(x)=a x^2 + c$ i nacrtaj njegov graf ako je $f(0)=1$ i $f(2)=1$
Rješenje:
Iz jednadžbe polinoma zaključujemo da se radi o polinomu koji je simetričan s obzirom na ishodište, i ima samo pomak na osi y. Iz podataka koji su nam zadani možemo odrediti dvije točke polinoma, a nepoznanice koje treba odrediti jesu $a$ i $c$. Njih ćemo dobiti tako da dvije točke, koje imamo zadane, uvrstimo u jednadžbu polinoma $f(x)=ax^2+c$.
Kada u tu jednadžbu uvrstimo točku $f(0)=1$ odnosno točku $(0,1)$ i točku $f(2)=1$, odnosno točku $(2,1)$, dobivamo dvije jednadžbe:
$-1=c$, odakle slijedi $c=-1$ i $1=4a-1$, odakle slijedi $a=\frac{1}{2}$
Sada možemo napisati jednadžbu traženog polinoma $f(x)=\frac{1}{2}x^2-1$ te skicirati traženi polinom.
9. Odredi polinom drugog stupnja i nacrtaj njegov graf, ako je f(2)=f(-2)=2, te f(0)=-2
Rješenje:
U ovome zadatku ne znamo o kakvom polinomu drugog stupnja se radi, ali s obzirom na to da imamo zadane tri točke polinoma, zadatak je najbolje početi rješavati crtajući skicu. Skicu ćemo dobiti tako da ucrtamo sve tri točke koje imamo zadane $(2,2)$, $(-2,2)$ te $(0,2)$.
Rješenje:
U ovome zadatku ne znamo o kakvom polinomu drugog stupnja se radi, ali s obzirom na to da imamo zadane tri točke polinoma, zadatak je najbolje početi rješavati crtajući skicu. Skicu ćemo dobiti tako da ucrtamo sve tri točke koje imamo zadane $(2,2)$, $(-2,2)$ te $(0,2)$.
Iz skice vidimo da se radi o polinomu drugog stupnja oblika $f(x)=ax^2+c$. To zaključujemo po tome što nema pomaka po osi x, odnosno graf je simetričan s obzirom na os x.
Sljedeći korak je da uvrstimo dvije točke polinoma u jednadžbu polinoma drugog stupnja, od kojih jedna treba biti tjeme grafa (budući je u tjemenu $x$ koordinata jednaka $0$, biti ćemo brže gotovi, odnosno odmah dolazimo do nepoznanice $c$.
Jednadžbe glase $2=4a+c$ i $-2=0 \cdot a +c$, odakle dobivamo $a=1$ i $c=-2$.
Kada uvrstimo parametre $a$ i $c$ u jednadžbu polinoma, dolazimo do rješenja: $f(x)=x^2-2$
Sljedeći korak je da uvrstimo dvije točke polinoma u jednadžbu polinoma drugog stupnja, od kojih jedna treba biti tjeme grafa (budući je u tjemenu $x$ koordinata jednaka $0$, biti ćemo brže gotovi, odnosno odmah dolazimo do nepoznanice $c$.
Jednadžbe glase $2=4a+c$ i $-2=0 \cdot a +c$, odakle dobivamo $a=1$ i $c=-2$.
Kada uvrstimo parametre $a$ i $c$ u jednadžbu polinoma, dolazimo do rješenja: $f(x)=x^2-2$